La méthode du coût marginal

L'optimum de productivité ou technique est atteint lorsque le coût unitaire moyen est minimum.

À ce stade de la production, le bénéfice unitaire sera maximum !

Dans cet exemple, le coût unitaire moyen minimum est atteint pour une production de 60 000 articles. À ce stade de production, il est égal à 116,55 €.

Pour 60 000 articles le bénéfice unitaire serait de : 150,00 - 116,55 = 33,45 €.

Bien voir qu'avec 60 000 articles le bénéfice total serait de :

33,45 * 60 000 = 2 007 000 €

ou :

(150,00 * 60 000) - 6 993 000 = 2 007 000 €

Rappelons que mathématiquement nous avons défini le coût moyen unitaire ainsi → $\mathrm{a}\text{=}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{X})}{\mathrm{X}}$

Donc si nous voulons connaître le minimum de cette fonction, il faut d'abord calculer sa dérivée puis chercher la (ou les) valeur(s) qui annulent cette dérivée. Ces valeurs donneront le minimum de la fonction (et c'est bien ce que nous cherchons).

Conséquences → $\mathrm{a}\text{=}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{X})}{\mathrm{X}}$

a' (la dérivé de « a ») est de la forme : ${(\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{V}})}^{\mathrm{\text{'}}}$

Rappel : ${(\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{V}})}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\mathrm{U}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{V}\text{-}\mathrm{U}{\mathrm{V}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\mathrm{V}}^2}$

Avec :

U = f(X)   V = X   U' = f'(X)   V' = 1

Donc si on applique la formule appropriée de la dérivée de cette fonction, il vient.

${\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{X})\ast \mathrm{X}\text{-}\mathrm{f}(\mathrm{X})\ast \text{1}}{{\mathrm{X}}^2}\to {\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{X}\ast {\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{X})-\mathrm{f}(\mathrm{X})}{{\mathrm{X}}^2}$

Ensuite on cherche la (ou les) valeur (s) qui annulent la dérivée.

Donc si a' = 0 → $\frac{\mathrm{X}\ast {\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{X})-\mathrm{f}(\mathrm{X})}{{\mathrm{X}}^2}\text{= 0}$

=> X f'(X) - f(X) = 0 → X f'(X) = f(X) → ${\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{X})\text{=}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{X})}{\mathrm{X}}$

Autrement dit, nous venons d'écrire que d'un point de vue mathématique pur, le coût moyen est minimum quand il atteint le coût marginal unitaire.

En effet, nous avions bien défini.

• Le coût moyen unitaire par : $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{X})}{\mathrm{X}}$

• Le coût marginal unitaire par : f'(X)

Si dans un énoncé, le coût total de production est exprimé sous forme de fonction (le plus souvent cette fonction est de la forme : y = ax² + b), on applique la démonstration mathématique.

• On calcule le coût moyen unitaire → $\frac{{\text{a X}}^2\text{+ b}}{\mathrm{X}}$

• On calcule la dérivée du coût moyen unitaire → $\mathrm{a}-\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{X}}^2}$

• La valeur qui annule cette dérivée représente les quantités pour lesquelles le coût moyen unitaire est minimum. Ces quantités représentent aussi l'OT.

Dans le cas contraire, l'énoncé donne des valeurs pour chaque série. On considérera alors que l'OT est atteint lorsque le coût moyen unitaire est minimum. Dans notre exemple, l'OT est atteint pour 60 000 articles.